Thèse Année : 2024

Ardos-Hooley's function of friable argument

Fonction d'Erdos Hooley d'argument friable

Résumé

For over four decades, the theory of friable integers (i.e integers without large prime factors) has been playing a key role in analytic number theory, with, in particular, applications to Riemann hypothesis, Waring's problem, circle's method, cryptology, algorithmic, summation theory, etc. Furthermore, the Hooley Delta function, introduced by Erdős in 1974 with one of his famous conjectures and which measures the concentration of divisors of an integer, is also a key-concept, useful in Waring type problems, diophantine approximation, distribution of prime factors in polynomial sequences, etc. Whereas satisfactory estimates on the structure of friable integers have been achieved throughout the years, the Delta function remains quite mysterious : neither its normal order, nor its average order are known with the accuracy that is expected in the light of the standard results of the theory of arithmetic functions. This function has been raising curiosity among the international arithmetic community. Some recents works put emphasis on the specific features of the multiplicative structure of friable integers, and it seems that we now have at disposal all technical and conceptual tools to describe the behaviour of the Delta Hooley function along the set of friable integers. The project consists in implementing these tools to provide as much information as possible on the normal and average friable order of the Delta function.
La théorie des entiers friables (i.e. sans grands facteurs premiers) occupe une place centrale en théorie analytique des nombres depuis une quarantaine d'année, avec notamment des applications à l'hypothèse de Riemann, au problème de Waring, à la méthode du cercle, à la cryptologie, à l'algorithmique, en théorie de la sommabilité, etc. Par ailleurs la fonction Delta de Hooley, introduite par Erdős en 1974 en lien avec une de ses conjectures célèbres, et qui mesure la concentration des diviseurs d'un entier naturel est également un concept-clef, utile dans les problèmes de type Waring, l'approximation diophantienne, la répartition des facteurs premiers dans les suites polynomiales, etc. Alors que des estimations satisfaisantes ont été obtenues au fil des ans sur la structure de l'ensemble des entiers friables, la fonction Delta demeure passablement mystérieuse : ni son ordre normal ni son ordre moyen ne sont connus avec une précision acceptable en regard des résultats usuels de la théorie des fonctions arithmétiques. Cette fonction suscite une curiosité croissante dans la communauté arithmétique internationale. Certains travaux récents ayant mis en évidence la spécificité de la structure multiplicative des entiers friables, il apparaît que nous disposons de tous les outils techniques et conceptuels pour décrire le comportement de la fonction Delta de Hooley sur l'ensemble des entiers friables. Le sujet proposé consiste à mettre ces outils en œuvre pour obtenir les renseignements les plus précis possibles concernant les ordres friables moyen et normal de la fonction Delta.
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Origine Version validée par le jury (STAR)

Dates et versions

tel-04871730 , version 1 (07-01-2025)

Identifiants

  • HAL Id : tel-04871730 , version 1

Citer

Julie Wetzer. Fonction d'Erdos Hooley d'argument friable. Mathématiques [math]. Université du Littoral Côte d'Opale, 2024. Français. ⟨NNT : 2024DUNK0708⟩. ⟨tel-04871730⟩
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